数学表达式
设d维度随机变量$\pmb{x}$满足高斯分布，期望与协方差分别为
\[E(\pmb{x}) = \pmb{\pmb{\mu}}\] \[E((\pmb{x} - \pmb{\mu})(\pmb{x} - \pmb{\mu})^T) = \Sigma\]则随机变量的概率密度函数可以用如下形式来表示:
\[p(\pmb{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{d}{2}}|\Sigma|^{\frac{1}{2}}}e^{-\frac{1}{2}(\pmb{x}-\pmb{\mu})^T \Sigma^{-1}(\pmb{x}-\pmb{\mu})}\]常用性质
标记
\[\left[\begin{array}{l} \pmb{x} \\ \pmb{y} \end{array}\right] \sim N\left\{\left(\begin{array}{l} \pmb{a} \\ \pmb{b} \end{array}\right),\left[\begin{array}{ll} \pmb{A} & \pmb{C} \\ \pmb{C}^{\top} & \pmb{B} \end{array}\right]\right\}\]则有
\[\begin{align} p(\pmb{x})&=N(\pmb{a}, \pmb{A}) \\ p(\pmb{y})&=N(\pmb{b}, \pmb{B}) \\ p(\pmb{x} \mid \pmb{y})&=N\left(\pmb{a}+\pmb{c} \pmb{B}^{-1}(\pmb{y}-\pmb{b}), \pmb{A}-\pmb{C} \pmb{B}^{-1} \pmb{B}^{\top}\right) \\ p(\pmb{y} \mid \pmb{x})&=N\left(\pmb{b}+\pmb{C}^{\top} \pmb{A}^{-1}(\pmb{x}-\pmb{a}), \pmb{B}-\pmb{C}^{\top} \pmb{A}^{-1} \pmb{C}\right) \end{align}\]