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非线性变换公式

设两个随机向量满足如下非线性关系:

$\pmb{y} = \pmb{f}(\pmb{x})$

记随机向量 $\pmb{x}$ 的均值与协方差分别为

$\begin{align} &E(\pmb{x}) = \pmb{\mu_x} \\ &E((\pmb{x} - \pmb{\mu_x})(\pmb{x} - \pmb{\mu_x})^T) = \pmb{\Sigma_{xx}} \end{align}$

则随机向量 $\pmb{y}$ 的均值与协方差分别为

$\begin{align} \pmb{\mu_y} &= \pmb{f}(\pmb{\mu_x}) \\ \pmb{\Sigma_{yy}} &= \pmb{J}\pmb{\Sigma_{xx}}\pmb{J}^T \end{align}$

其中向量 $\pmb{J}$ 为

$\pmb{J} = \frac{d\pmb{f}}{d\pmb{x}}$

应用实例

考察如下变换:

$\theta = \frac{z_r - z_f}{L}$

写成矩阵形式为:

$\theta=\left[\frac{1}{L} \quad-\frac{1}{L}\right]\left[\begin{array}{l} z_{r} \\ z_{f} \end{array}\right]$

则雅可比矩阵为

$\pmb{J} = \left[\begin{array}{ll} \frac{\partial \theta}{\partial z_{f}} & \frac{\partial \theta}{\partial z_{r}} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} \frac{1}{L} & -\frac{1}{L} \end{array}\right]$

不确定性变换公式

已知一个随机向量的特性求取另一个随机向量的统计特性

非线性变换公式

应用实例

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