注：本文笔记基于Simmonds《A Brief on Tensor Analysis》（第二版），仅用于学习与交流目的。
广义基底
设 ${\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2, \mathbf{g}_3}$ 是一组固定的、不共面的向量，则任意矢量 $\mathbf{v}$ 都可以唯一地表示为：
\[\mathbf{v} = v^1\mathbf{g}_1 + v^2\mathbf{g}_2 + v^3\mathbf{g}_3 = \sum_{i=1}^{3}v^i\mathbf{g}_i\]通常称集合 ${\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2, \mathbf{g}_3}$ 为基底，集合内的元素称为基矢量。
显然，一个基底集合不必满足正交性，也不要求每个基底向量都是单位矢量。只要由矢量 ${\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2, \ldots}$ 构成的矩阵 $\mathbf{G} = [\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2, \ldots]$ 的行列式不为零，即 $\det\mathbf{G} \neq 0$，该集合就可以作为一组有效的基底。
求和约定
在上下文明确的情况下，若求和索引在各项中一上（上标）一下（下标），则可省略求和符号。因此可以将上述矢量 $\mathbf{v}$ 分解求和式简单写成
\[\mathbf{v} = v^i\mathbf{g}_i\]广义基底下的点积
设三维矢量 $\mathbf{v} = v^i\mathbf{g}_i$ 与矢量 $\mathbf{u} = u^i\mathbf{g}_i$，两个矢量的点积为
\[\begin{align*} \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} &= (v^i\mathbf{g}_i) \cdot (u^i\mathbf{g}_i) \\ &= (u^1\mathbf{g}_1 + u^2\mathbf{g}_2 + u^3\mathbf{g}_3)\cdot(v^1\mathbf{g}_1 + v^2\mathbf{g}_2 + v^3\mathbf{g}_3)\\ &= u^1 v^1\mathbf{g}_1\cdot\mathbf{g}_1 + u^1 v^2\mathbf{g}_1\cdot\mathbf{g}_2 + u^1 v^3\mathbf{g}_1\cdot\mathbf{g}_3 + \ldots \\ &= u^i v^j\mathbf{g}_i\cdot\mathbf{g}_j \quad(\text{使用求和约定简化}) \end{align*}\]注意到由于广义基底不是互相垂直的，因此 $i \neq j$ 的项无法消去。对于两个三维的矢量，点积结果一共有 $3^2 = 9$ 项，实际上可以通过引入一组倒易基底矢量来化简点积表达式。
倒易基底矢量
倒易基底矢量
用一组新的基底 ${\mathbf{g}^1, \mathbf{g}^2, \mathbf{g}^3}$ 来表示矢量 $\mathbf{v} = v_j\mathbf{g}^j$，此时点积求和可以写成
\[\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u^i v_j\mathbf{g}_i\cdot\mathbf{g}^j\]设新旧基底之间的关系满足
\[\begin{equation} \mathbf{g}^i \cdot \mathbf{g}_j = \delta^i_j \equiv \begin{cases} 1 & \text{若 } i = j \\ 0 & \text{若 } i \ne j \end{cases} \end{equation}\]此时点积表达式可以化简为
\[\begin{align*} \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} &= u^1 v_1 + u^2 v_2 + u^3 v_3 \\ &= u^i v_i \quad(\text{使用求和约定简化}) \end{align*}\]称集合 ${\mathbf{g}^1, \mathbf{g}^2, \ldots}$ 为倒易基底集合，其子元素为倒易基底矢量。
倒易基底矢量的求解
从基底 ${\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2, \ldots}$ 的合法性可知基底构成的矩阵 $\mathbf{G} = [\mathbf{g}_1\ \mathbf{g}_2\ \ldots]$ 的行列式不为零，即 $\det\mathbf{G} \neq 0$。记倒易基底为 ${\mathbf{g}^1, \mathbf{g}^2, \ldots, \mathbf{g}^n}$，将倒易基底按列排列为矩阵
\[\mathbf{G}^* = \begin{bmatrix} \mathbf{g}^1 \\ \mathbf{g}^2 \\ \vdots \end{bmatrix}\]则由定义有：
\[\mathbf{G}^* \mathbf{G} = \mathbf{I} \quad\Rightarrow\quad \mathbf{G}^* = \mathbf{G}^{-1}\]即
\[\boxed{ \mathbf{g}^i = \text{第} i \text{行的} \mathbf{G}^{-1} }\]这表明，若已知基底 ${\mathbf{g}_1, \mathbf{g}_2, \ldots}$，只需求出 $\mathbf{G}^{-1}$ 便可得到倒易基底矢量。
例题： 已知基底
\(\mathbf{g}_1 = (1, -1, 2),\ \mathbf{g}_2 = (0, 1, 1),\ \mathbf{g}_3 = (-1, -2, 1)\)
试求倒易基底矢量 ${\mathbf{g}^1, \mathbf{g}^2, \mathbf{g}^3}$。解： 设矩阵
\(\mathbf{G} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)
矩阵的逆可计算得到
\(\mathbf{G}^{-1} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{6} \\ -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\ -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{6} \end{bmatrix}\)
因此倒易基底矢量为
\(\mathbf{g}_1 = \tfrac{1}{6}(3, -1, 1),\ \mathbf{g}_2 = \tfrac{1}{2}(-1, 1, 1),\ \mathbf{g}_3 = \tfrac{1}{6}(-3, -1, 1)\)
矢量的协变分量与逆变分量
从前面的分析可知道，一个矢量 $\mathbf{v}$ 可以写成基底矢量与倒易基底矢量两种形式，即
\[\mathbf{v} = v^i\mathbf{g}_i = v_j\mathbf{g}^j\]称 $v^i$ 为矢量 $\mathbf{v}$ 的逆变分量，$v_i$ 为矢量 $\mathbf{v}$ 的协变分量。
注意到$\mathbf{v}\cdot\mathbf{g}_i= (v_i\mathbf{g}^i)\cdot\mathbf{g}_i = v_i$，因此有$v_i = \mathbf{v}\cdot\mathbf{g}_i$。同理有$v^i = \mathbf{v}\cdot\mathbf{g}^i$
关于记号的进一步补充
在一些文献或计算中，常常会遇到类似 $\mathbf{G}^i_j$、$\mathbf{G}^{ij}$，甚至$\mathbf{G}_{ij}$ 这样的表达式。为了避免混淆，作如下约定：
一般情况下，上标 $i$ 表示行索引，下标 $j$ 表示列索引。例如，$\mathbf{G}^i_j$ 通常表示矩阵 $\mathbf{G}$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的分量。这种写法有时被称作“屋顶-地窖（roof-cellar）”助记法，其中上标（在上，即屋顶roof）表示行，下标（在下，即地窖cellar）表示列，便于记忆。
需要注意的是，这种记号在后续张量分析中也很常见，并且与广义的张量指标表示法保持一致。因此，在进行矩阵与张量的混合计算时，这种约定具有较好的兼容性。
广义基底下点积分量形式的简化
设矢量$\mathbf{u} = u^i\mathbf{g}_i$与矢量$\mathbf{v} = v_j\mathbf{g}^j$若新旧基底满足如下形式
\[\begin{equation} \mathbf{g}^i \cdot \mathbf{g}_j = \delta^i_j \equiv \begin{cases} 1 & \text{若 } i = j \\ 0 & \text{若 } i \ne j \end{cases} \end{equation}\]此时点积表达式可以化简为
\[\begin{align*} \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} &= u^1 v_1 + u^2 v_2 + u^3 v_3 \\ &= u^i v_i \end{align*}\]广义基底下的叉积
置换张量
考虑两个矢量的叉积，注意到叉积结果也是一个矢量，因此可以设结果为
\[\begin{equation} \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (\mathbf{u} \times \mathbf{v})_{k} \mathbf{g}^k \end{equation}\]注意到$v_k = \mathbf{v}\cdot \mathbf{g}_k$，将矢量的协变与逆变分量形式代入上述公式得到
\[(\mathbf{u} \times \mathbf{v})_{k} = (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{g}_k = (u^i\mathbf{g}_i \times v^j\mathbf{g}_j) \cdot \mathbf{g}_k\]为了计算完整的结果，将求和约定展开，并注意到矢量积符合分配律，因此有
\[\begin{align*} (u^i\mathbf{g}_i \times v^j\mathbf{g}_j) &= (u^1\mathbf{g}_1 + u^2\mathbf{g}_2 + u^3\mathbf{g}_3) \times v^j\mathbf{g}_j = u^1\mathbf{g}_1 \times v^j\mathbf{g}_j + u^2\mathbf{g}_2 \times v^j\mathbf{g}_j + u^3\mathbf{g}_3 \times v^j\mathbf{g}_j \\ &= u^1\mathbf{g}_1 \times (v^1\mathbf{g}_1 + v^2\mathbf{g}_2 + v^3\mathbf{g}_3) + u^2\mathbf{g}_2 \times (v^1\mathbf{g}_1 + v^2\mathbf{g}_2 + v^3\mathbf{g}_3) + \ldots \\ &= u^1\mathbf{g}_1 \times v^1\mathbf{g}_1 + u^1\mathbf{g}_1 \times v^2\mathbf{g}_2 + u^1\mathbf{g}_1 \times v^3\mathbf{g}_3 + \ldots \\ &=\sum_{i,j}u^i\mathbf{g}_i \times v^j\mathbf{g}_j = \sum_{i,j} u^i v^j (\mathbf{g}_i \times \mathbf{g}_j) \\ &= u^i v^j (\mathbf{g}_i \times \mathbf{g}_j)\ (\text{使用求和约定简化}) \end{align*}\]于是
\[\begin{equation} (\mathbf{u} \times \mathbf{v})_{k} = u^i v^j (\mathbf{g}_i \times \mathbf{g}_j)\cdot \mathbf{g}_k \triangleq u^i v^j \epsilon_{ijk} \end{equation}\]三维空间中，符号 $\epsilon_{ijk}$ 的每个下标均取值于 ${1,2,3}$，因此一共有 $3^3 = 27$ 个分量。称由这27个分量所组成的张量称为置换张量，记为 $\mathbf{P}$。
置换张量协变分量的性质
为方便分析，设 $\mathbf{g}{i} = (\mathbf{g}{ix},\mathbf{g}{iy},\mathbf{g}{iz})$，$\mathbf{g}{j} = (\mathbf{g}{jx},\mathbf{g}{jy},\mathbf{g}{jz})$，$\mathbf{g}{k} = (\mathbf{g}{kx},\mathbf{g}{ky},\mathbf{g}{kz})$，则
\[\epsilon_{ijk} = (\mathbf{g}_i \times \mathbf{g}_j)\cdot \mathbf{g}_k = \left| \begin{matrix} \mathbf{g}_{ix} & \mathbf{g}_{iy} & \mathbf{g}_{iz} \\ \mathbf{g}_{jx} & \mathbf{g}_{jy} & \mathbf{g}_{jz} \\ \mathbf{g}_{kx} & \mathbf{g}_{ky} & \mathbf{g}_{kz} \end{matrix} \right|\]注意到如果下标 $ijk$ 中任意两个值相同，那么$\epsilon_{ijk} = 0$。又注意到混合积的性质有
\[\epsilon_{jik} = (\mathbf{g}_j \times \mathbf{g}_i)\cdot \mathbf{g}_k = -\epsilon_{ijk},\ \ldots\]作为锚定，记$\epsilon_{123} = J$，则可以写出任意组合的结果，如$\epsilon_{231} = J$、$\epsilon_{132} = -J$等。综上，可以得到如下结果：
\[\begin{equation} \epsilon_{ijk} = \begin{cases} +J, & \text{当 } (i, j, k) \text{ 是 } (1, 2, 3) \text{ 的偶置换时} \\ -J, & \text{当 } (i, j, k) \text{ 是 } (1, 2, 3) \text{ 的奇置换时} \\ 0, & \text{当 } i, j, k \text{ 中有两个或以上相等时} \end{cases} \end{equation}\]矢量积的张量表示
将式
\[(\mathbf{u} \times \mathbf{v})_{k} = u^i v^j \epsilon_{ijk}\]代入矢量积表达式
\[\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (\mathbf{u} \times \mathbf{v})_{k} \mathbf{g}^k\]后得到张量形式的矢量积
\[\begin{equation} \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \epsilon_{ijk}u^i v^j \mathbf{g}^k \end{equation}\]置换张量的逆变分量
做同样分析，可以得到置换张量的逆变分量。对此设
\[(\mathbf{u} \times \mathbf{v})^{k} = (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{g}^k = (u_i\mathbf{g}^i \times v_j\mathbf{g}^j) \cdot \mathbf{g}^k = u_i v_j (\mathbf{g}^i \times \mathbf{g}^j) \cdot \mathbf{g}^k = \epsilon^{ijk} u_i v_j\]因此
\[\begin{equation} \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \epsilon^{ijk} u_i v_j \mathbf{g}_k \end{equation}\]将协变基底 $(\mathbf{g}_i, \mathbf{g}_j, \mathbf{g}_k)$ 的三个向量视为列向量并组成矩阵，则有
\[\epsilon_{ijk} = (\mathbf{g}_i \times \mathbf{g}_j)\cdot \mathbf{g}_k = \left| \begin{matrix} g_{ix} & g_{iy} & g_{iz} \\ g_{jx} & g_{jy} & g_{jz} \\ g_{kx} & g_{ky} & g_{kz} \end{matrix} \right| = \det \begin{bmatrix}\mathbf{g}_{i} & \mathbf{g}_{j} & \mathbf{g}_{k}\end{bmatrix} = \det \mathbf{G}_{ijk}\]而
\[\epsilon^{ijk} = (\mathbf{g}^i \times \mathbf{g}^j)\cdot \mathbf{g}^k = \left| \begin{matrix} g^{ix} & g^{iy} & g^{iz} \\ g^{jx} & g^{jy} & g^{jz} \\ g^{kx} & g^{ky} & g^{kz} \end{matrix} \right|\]前面分析了逆变形式与协变形式在矩阵表达形式上的关系，注意到
\[\boxed{ \mathbf{g}^i = \text{第} i \text{行的} (\mathbf{G}_{ijk})^{-1} }\]因此逆变分量按照行排列构成的矩阵实际上为协变矩阵的逆，即
\[\begin{bmatrix} g^{ix} & g^{iy} & g^{iz} \\ g^{jx} & g^{jy} & g^{jz} \\ g^{kx} & g^{ky} & g^{kz} \end{bmatrix} = (\mathbf{G}_{ijk})^{-1}\]即
\[\epsilon^{ijk} = \det ((\mathbf{G}_{ijk})^{-1}) = (\det \mathbf{G}_{ijk})^{-1} = \frac{1}{J}\]因此可以得到
\[\begin{equation} \epsilon^{ijk} = \begin{cases} +\frac{1}{J}, & \text{当 } (i, j, k) \text{ 是 } (1, 2, 3) \text{ 的偶置换时} \\ -\frac{1}{J}, & \text{当 } (i, j, k) \text{ 是 } (1, 2, 3) \text{ 的奇置换时} \\ 0, & \text{当 } i, j, k \text{ 中有两个或以上相等时} \end{cases} \end{equation}\]注意到$\epsilon_{ijk}/\epsilon^{ijk} = J^2$，因此$\epsilon_{ijk} = J^2 \epsilon^{ijk}$。
二阶张量的混合分量
广义基底下的二阶张量协变表示
设二阶张量$\mathbf{T}$与广义基底${\mathbf{g}_j}$，记
\[\mathbf{T}_j = \mathbf{T}(\mathbf{g}_j)\]其中$\mathbf{T}_j$是一个矢量，注意到任意矢量都可以用广义基底${\mathbf{g}_j}$的线性组合来表示，因此可以设
\[\mathbf{T}_j = (T_{j})_i\mathbf{g}^i = T_{ij}\mathbf{g}^i\]对此，二阶张量$\mathbf{T}$的9个分量可以通过如下形式求得
\[\mathbf{g}_i \cdot T_{ij}\mathbf{g}^i = T_{ij}\mathbf{g}^i \cdot \mathbf{g}_i = T_{ij} \Rightarrow T_{ij} = \mathbf{g}_i \cdot \mathbf{T}(\mathbf{g}_j)\]为了用广义基底${\mathbf{g}_i}$表示二阶张量$\mathbf{T}$，设矢量$\mathbf{v} = v^j\mathbf{g}_j$，则有
\[\begin{align*} \mathbf{T}(\mathbf{v}) &= \mathbf{T}(v^j\mathbf{g}_j) = v^j\mathbf{T}(\mathbf{g}_j)\ (\text{线性性质并使用求和约定})\\ &= v^j T_{ij}\mathbf{g}^i = T_{ij}v^j \mathbf{g}^i \\ &= T_{ij}(\mathbf{v}\cdot \mathbf{g}^j) \mathbf{g}^i \\ &= T_{ij}(\mathbf{g}^i \otimes \mathbf{g}^j) (\mathbf{v}) \end{align*}\]由此给出了协变形式的分量
\[\begin{equation} \mathbf{T} = T_{ij}(\mathbf{g}^i \otimes \mathbf{g}^j) \end{equation}\]因此广义基底形式下二阶张量基底集合为${\mathbf{g}^i \otimes \mathbf{g}^j}$，共9个基底矢量。
广义基底下的二阶张量混合表示
类似的，可以写出二阶张量的逆变分量形式
\[\begin{equation} \mathbf{T} = T^{ij}(\mathbf{g}_i \otimes \mathbf{g}_j) \end{equation}\]进一步的，若在推导过程中定义 $\mathbf{T}j = (T{j})^i\mathbf{g}i = T^{i}{·j}\mathbf{g}_i$，则可得到
\[\begin{equation} \mathbf{T} = T^{i}_{·j}(\mathbf{g}_i \otimes \mathbf{g}^j) \end{equation}\]同理，若定义 $\mathbf{T}^j = (T^{j})i\mathbf{g}^i = T^{·j}{i}\mathbf{g}^i$，则可得到
\[\begin{equation} \mathbf{T} = T^{·j}_{i}(\mathbf{g}^i \otimes \mathbf{g}_j) \end{equation}\]称 $T^{·j}{i}$与$T^{i}{·j}$ 是二阶张量 $\mathbf{T}$ 的混合分量。
对称张量分量之间的关系
若二阶张量 $\mathbf{T}$ 是对称张量，即 $\mathbf{T} = \mathbf{T}^T$，则从矩阵计算角度有
\[T_{ij} = \mathbf{g}^T_i\mathbf{T}\mathbf{g}_j = (\mathbf{g}^T_j \mathbf{T}^T\mathbf{g}_i)^T = (\mathbf{g}^T_j \mathbf{T}\mathbf{g}_i)^T = \mathbf{g}^T_j \mathbf{T}\mathbf{g}_i = T_{ji}\]同理可得到 $T^{ij} = T^{ji}$与$T^{·i}j = T^{i}{·j}$。
基底的变换
在给定的参考系中，向量与张量本身并不“知晓”我们选择用何种基底来表示它们。换句话说，它们是几何不变量。在进行基底变换时，发生改变的只是它们的分量，而几何对象本身保持不变。张量分析的一个主要目标，就是在已知基底变换的前提下，提供一种从原分量计算新分量的通用方法。
设新基底为
\[\tilde{\mathbf{g}}_1 = A^1_1 \mathbf{g}_1 + A^2_1 \mathbf{g}_2 + A^3_1 \mathbf{g}_3, \quad \tilde{\mathbf{g}}_2 = A^1_2 \mathbf{g}_1 + \cdots, \quad \tilde{\mathbf{g}}_3 = \cdots\]可以证明最终采用新基底后，矢量 $\mathbf{v}$ 的新分量为
\[\begin{equation} \tilde{v}_{j} = A^i_j v_i, \quad \tilde{v}^{i} = (A^{-1})^i_j v^j, \end{equation}\]二阶张量的新分量变为：
\[\begin{equation} \begin{aligned} \tilde{T}_{ij} = A^k_i A^p_j T_{kp}&, \quad \tilde{T}^{i}_{\cdot j} = (A^{-1})^i_k A^p_j T^{k}_{\cdot p},\\ \tilde{T}^{\cdot i}_{j} = A^k_j (A^{-1})^i_p T^{\cdot p}_{k}&, \quad \tilde{T}^{ij} = (A^{-1})^i_k (A^{-1})^j_p T^{kp} \end{aligned} \end{equation}\]